Cho đa thức \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-2020\right)-1\). Có thể phân tích P(x) thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên và hai đã thức đó có bậc lớn hơn 1 được không?
Cho đa thức \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-2020\right)-1\).Chứng minh rằng đa thức \(P\left(x\right)\)không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.
Ta đi phản chứng, giả sử P(x) có thể phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên bậc lớn hơn 1.
đặt \(P\left(x\right)=Q\left(x\right).H\left(x\right)\)với bậc của Q(x) và H(x) lớn hơn 1
Ta Thấy \(Q\left(i\right).H\left(i\right)=P\left(i\right)=-1\)với i=1,2,...2020.
suy ra \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=1\\H\left(i\right)=-1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=-1\\H\left(i\right)=1\end{cases}}\) suy ra \(Q\left(i\right)+H\left(i\right)=0\)với i=1,2,...,2020
mà bậc của Q(x) và H(x) không vượt quá 2019 suy ra \(Q\left(x\right)+H\left(x\right)=0\Rightarrow Q\left(x\right)=-H\left(x\right)\Rightarrow P\left(x\right)=-\left(Q\left(x\right)\right)^2\)
xét hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(P\left(x\right)\) bằng 1
hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(-\left(Q\left(x\right)\right)^2\) bằng -1. Suy ra vô lý.
Vậy P(x) không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.
Viết đa thức \(P\left(x\right)=5x^3-4x^2+7x-2\) dưới dạng :
a) Tổng của hai đa thức một biến
b) Hiệu của hai đa thức một biến
Bạn Vinh nêu nhận xét : " Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4". Đúng hay sai ? Vì sao ?
Viết đa thức P(x) = 5x3 – 4x2 + 7x - 2 dưới dạng:
a) Tổng của hai đa thức một biến.
5x3 – 4x2 + 7x - 2 = (5x3 – 4x2) + (7x - 2)
b) Hiệu của hai đa thức một biến.
5x3 – 4x2 + 7x - 2 = (5x3 + 7x) - (4x2 + 2)
Chú ý: Đáp số ở câu a; b không duy nhất, các bạn có thể tìm thêm đa thúc khác.
Bạn Vinh nói đúng: Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thúc bậc 4 chẳng hạn như:
5x3 – 4x2 + 7x - 2 = (2x4 + 5x3 + 7x) + (– 2x4 – 4x2 - 2).
a) Ta có thể viết đa thức 5x3−4x2+7x−2 thành tổng của hai đa thức như sau:
5x3−4x2+7x−2 = 5x3+(−4x2+7x−2)
b)Hiệu của hai đa thức:
5x3−4x2+7x−2=5x3−(4x2−7x+2)
*Bạn Vinh nêu nhận xét : " Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4" là đứng.
Vì,chẳng hạn:
5x3−4x2+7x−2=(x4+4x3−3x2+7x−2)+(−x4+x3−x2)
Viết đa thức \(P\left(x\right)=5x^3\text{-}4x^2+7x\text{-}2\)
a/ Dưới dạng tổng cùa hai đa thức 1 biến
b/ Hiệu của hai đa thức 1 biến
c/ Tổng cùa 2 đa thức bậc 4.(nếu có thể)
a) P(x)= ( 3x3-2x2) + ( 2x3-2x2+7x-2)
b)P(x)= (5x3+6x2+7x+3)-(10x2+5)
Bạn Minh cho rằng “Tổng của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Bạn Quân cho rằng “Hiệu của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Hai bạn Minh và Quân nói như vậy có đúng không? Giải thích vì sao.
* Giả sử, cho hai đa thức biết:
- Trong đa thức thứ nhất: hệ số a của đơn thức \(a{x^4}\) .
- Trong đa thức thứ hai: hệ số \( - a\)của đơn thức \( - a{x^4}\).
Như vậy, bậc của tổng của hai đa thức sẽ là bậc 3. (Vì khi cộng hai đa thức với nhau, ta có \(a + ( - a) = 0\) nên biến với số mũ là 4 sẽ không còn).
Vậy bạn Minh nói như vậy là không đúng.
* Giả sử, cho hai đa thức biết:
- Trong đa thức thứ nhất: hệ số a của đơn thức \(a{x^4}\) .
- Trong đa thức thứ hai: hệ số \(a\)của đơn thức \(a{x^4}\).
Như vậy, bậc của hiệu của hai đa thức sẽ là bậc 3. (Vì khi trừ hai đa thức với nhau, ta có \(a - a = 0\) nên biến với số mũ là 4 sẽ không còn).
Vậy bạn Quân nói như vậy là không đúng.
Trên bảng viết đa thức \(F\left(x\right)=x^2+3x+2\) . Ta thực hiện trò chơi sau : nếu trên bảng có đa thức \(P\left(x\right)\)thì ta xóa bỏ đa thức \(P\left(x\right)\)và thay vào đó là đa thức \(Q\left(x\right)=x^2P\left(\frac{1}{x}+1\right)\). Hỏi sau 2016 bước làm như vậy thì trên bảng đã có thể có đa thức \(g\left(x\right)=x^2+10x+9\)hay không ? Vì sao ?
Toán Tuổi Thơ 2 chứ j,thế mà vẫn dc vào câu hỏi hay
\(f\left(x\right)=\left(m^2-1\right)x^3+\left(m-1\right)x^2-2x-1\)Cho đa thức trên tìm giá trị của hằng số m để đa thức có bậc bằng 2
cho đa thức \(P\left(x\right)=x^4+2x^3+2x+2\).Chứng tỏ rằng p(x) không thể phân tích thành tích của 2 đa thức bậc 2 của hệ số nguyên
Cho hai đa thức :
\(P\left(x\right)=-2x^2+3x^4+x^3+x^2-\dfrac{1}{4}x\\ Q\left(x\right)=x^4+3x^2-4-4x^3-2x^2\)
Chứng tỏ x=0 là nghiệm của đa thức P(x), nhưng không phải là nghiệm của đa thức Q(x)
\(P\left(0\right)=3.0^4+0^3-0^2+\dfrac{1}{4}.0=0+0-0+0=0\)
\(Q\left(0\right)=0^4-4.0^3+0^2-4=0-0+0-4=-4\)
vậy Chứng tỏ x=0 là nghiệm của đa thức P(x), nhưng không phải là nghiệm của đa thức Q(x)
thu gọn
\(P\left(x\right)=3x^4+x^3\left(-2x^2+x^2\right)+\dfrac{1}{4}x=3x^4+x^3-x^2+\dfrac{1}{4}x\)
\(Q\left(x\right)=x^4-4x^3+\left(3x^2-2x^2\right)-4=x^4-4x^3+x^2-4\)
Lời giải:
Ta thấy:
$P(0)=-2.0^2+3.0^4+0^3+0^2-\frac{1}{4}.0=0$ nên $x=0$ là nghiệm của $P(x)$
$Q(0)=0^4+3.0^2-4-4.0^3-2.0^2=-4\neq 0$
Do đó $x=0$ không phải nghiệm của $Q(x)$
